d’après la question précédente. Commençons par calculer (GH ) c :
(GH ) c = ((G \ H ) ∪ (H \ G)) c
= ((G ∩ H c ) ∪ (H ∩ G c )) c
= ((G ∪ H ) ∩ (G ∪ G c ) ∩ (H c ∪ H ) ∩ (H c ∪ G c )) c
= (G ∪ H ) c ∪ (G ∪ G c ) c ∪ (H c ∪ H ) c ∪ (H c ∪ G c ) c
= (G c ∩ H c ) ∪ (G c ∩ G) ∪ (H ∩ H c ) ∪ (H ∩ G)
= (G c ∩ H c ) ∪ (G ∩ H ),
car G c ∩ G = ∅ et H ∩ H c = ∅. On en déduit que
F ∩ (GH ) c = F ∩ ((G c ∩ H c ) ∪ (G ∩ H ))
= (F ∩ G c ∩ H c ) ∪ (F ∩ G ∩ H ).
Calculons, à présent, (GH ) ∩ F c :
(GH ) ∩ F c = ((G ∩ H c ) ∪ (H ∩ G c )) ∩ F c
= (G ∩ H c ∩ F c ) ∪ (H ∩ G c ∩ F c ).
On en déduit que
F(GH )
= (F ∩ G c ∩ H c ) ∪ (F ∩ G ∩ H )
∪ (F c ∩ G ∩ H c ) ∪ (F c ∩ G c ∩ H ).
Calculons, à présent, (FG))H. Puisque est commutative, on a
(FG))H = H (FG)
= (H ∩ F c ∩ G c ) ∪ (H ∩ F ∩ G)
∪(H c ∩ F ∩ G c ) ∪ (H c ∩ F c ∩ G)
= F(GH ).
Par conséquent, la loi est associative.
Élément neutre
Cherchons, à présent, l’élément neutre e pour la loi . Réfléchissons en considérant
notre dessin précédent. Quel que soit F ∈ P(E), nous devons avoir Fe = F.
Si l’ensemble e coupe F, alors, en construisant Fe, on ôte une partie de F. Par
conséquent, nous ne pouvons pas avoir Fe = F dans ce cas.
Si l’ensemble e est disjoint de F, alors on voit facilement que l’on a Fe = F ∪ e.
Pour que F ∪ e = F , avec e disjoint de F, la seule solution est que e soit vide. Nous
allons vérifier que l’ensemble vide est bien l’élément neutre recherché.
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Partie 3 • Algèbre
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