Si, de plus, la loi ∗ est commutative, c’est-à-dire
∀(g,h) ∈ G
2
, g ∗ h = h ∗ g,
on dit que le groupe (G,∗) est commutatif.
L’une de ces propriétés est ici évidente : il s’agit de la commutativité de la loi, qui
découle directement de sa définition.
Commutativité
Remarquons, tout d’abord, que la loi est commutative. En effet, quels que
soient F,G ∈ P(E), on a
FG = (F \ G) ∪ (G \ F)
= (G \ F) ∪ (F \ G)
= GF.
Associativité
Montrons, à présent, l’associativité de la loi . Nous devons donc montrer que,
quels que soient F,G,H ∈ P(E) , on a F(GH ) = (FG))H . L’opération \
est difficile à manipuler. Il vaut donc mieux essayer de se ramener aux opérations
plus classiques : ∩, ∪ et . c . C’est d’ailleurs ce que nous suggère la première question. Pour ces opérations, nous connaissons plusieurs formules qui pourront nous
aider :
– ∀F,G,H ∈ P(E), F ∩ (G ∪ H ) = (F ∩ G) ∪ (F ∩ H ) ;
– ∀F,G,H ∈ P(E), F ∪ (G ∩ H ) = (F ∪ G) ∩ (F ∪ H ) ;
– ∀F,G ∈ P(E), (F ∩ G) c = F c ∪ G c ;
– ∀F,G ∈ P(E), (F ∪ G) c = F c ∩ G c ;
– ∀F ∈ P(E), (F c ) c = F.
Il ne nous reste plus, à présent, qu’à utiliser ces formules pour démontrer l’associativité de la loi . Les formules que nous obtiendrons seront assez lourdes et il faudra donc procéder par étapes, avec beaucoup de précautions.
Soient F,G,H ∈ P(E) . Calculons F(GH ). Nous avons
F(GH ) = (F \ (GH )) ∪ ((GH ) \ F)
= (F ∩ (GH ) c ) ∪ ((GH ) ∩ F c ),
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Chapitre 10 • Algèbre générale
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