1. Nous voulons montrer l’égalité de deux ensembles. Dans ce cas de figure, on raisonne généralement par double inclusion.
• Montrons, tout d’abord, que F \ G ⊂ F ∩ G c . Soit x ∈ F \ G . Par définition, cela signifie que x ∈ F et x /
∈ G. Cette dernière condition signifie
exactement que x ∈ G c . Par conséquent, nous avons x ∈ F et x ∈ G c ,
autrement dit, x ∈ F ∩ G c .
• Réciproquement, montrons que F ∩ G c ⊂ F \ G. Soit x ∈ F ∩ G c . Par
définition, on a x ∈ F et x ∈ G c , autrement dit x /
∈ G. Nous avons donc
x ∈ F \ G .
Finalement, nous avons bien F \ G = F ∩ G c .
2. Nous devons montrer qu’un certain ensemble muni d’une loi de composition
interne est un groupe commutatif. Ici, nous n’avons pas d’autre choix que de vérifier, un à un, les axiomes définissant un groupe commutatif. Rappelons qu’un
ensemble G muni d’une loi de composition interne ∗ est un groupe si
– la loi ∗ est associative, c’est-à-dire
∀(g,h,i) ∈ G
3
, (g ∗ h) ∗ i = g ∗ (h ∗ i) ;
– l’ensemble G possède un élément neutre, c’est-à-dire un élément e qui vérifie
∀g ∈ G,g ∗ e = e ∗ g = g ;
– tout élément de G est inversible, c’est-à-dire
∀g ∈ G, ∃h ∈ G, h ∗ g = g ∗ h = e.
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Partie 3 • Algèbre
F
G
F ∆ G
F ∩ G
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