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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice 10.1 : Différence symétrique
Soit E un ensemble. On note P(E) l’ensemble de ses parties. Si F et G sont deux
parties de E, on définit leur différence symétrique par
FG = (F \ G) ∪ (G \ F).
1. Soient F,G ∈ P(E). Montrer que l’on a
F \ G = F ∩ G
c
.
2. Montrer que (P(E),,) est un groupe commutatif.
Avant de commencer, il est bon de faire un dessin pour se représenter la situation.
Cette remarque vaut, de manière générale, pour les exercices qui concernent les
ensembles. Si F et G sont deux sous-ensembles de E, rappelons que F \ G désigne
l’ensemble des éléments de F qui n’appartiennent par à G. Par conséquent, les éléments de la différence symétrique FG = (F \ G) ∪ (G \ F) sont les éléments de
E qui appartiennent à F mais pas à G ou à G mais pas à F, autrement dit, ce sont
les éléments qui appartiennent à un et un seul des deux ensembles F et G.
Algèbre générale
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Exercice 10.1 : Différence symétrique
Soit E un ensemble. On note P(E) l’ensemble de ses parties. Si F et G sont deux
parties de E, on définit leur différence symétrique par
FG = (F \ G) ∪ (G \ F).
1. Soient F,G ∈ P(E). Montrer que l’on a
F \ G = F ∩ G
c
.
2. Montrer que (P(E),,) est un groupe commutatif.
Avant de commencer, il est bon de faire un dessin pour se représenter la situation.
Cette remarque vaut, de manière générale, pour les exercices qui concernent les
ensembles. Si F et G sont deux sous-ensembles de E, rappelons que F \ G désigne
l’ensemble des éléments de F qui n’appartiennent par à G. Par conséquent, les éléments de la différence symétrique FG = (F \ G) ∪ (G \ F) sont les éléments de
E qui appartiennent à F mais pas à G ou à G mais pas à F, autrement dit, ce sont
les éléments qui appartiennent à un et un seul des deux ensembles F et G.
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