coïncident sur les éléments 1,. . . ,n. Rappelons que la permutation (σ(i) σ( j)) est
définie par
{1,. . . ,n}
→ {1,. . . ,n}
σ(i)
→
σ( j)
σ( j)
→
σ(i)
k = / σ(i),σ( j) →
k
Nous allons montrer que la permutation σ ◦ (i j) ◦ σ −1 agit de la même façon sur
l’ensemble {1,. . . ,n}.
• Nous avons
(σ ◦ (i j) ◦ σ −1 )(σ(i)) = (σ ◦ (i j))(i)
= σ( j).
• De même,
(σ ◦ (i j) ◦ σ
−1
)(σ( j)) = σ(i).
• Soit k ∈ {1,. . . ,n} \ {σ(i),σ( j)} . Nous avons alors σ −1 (k) /
∈ {i, j} et
donc
(i j)(σ
−1
(k)) = (σ
−1
(k)).
On en déduit que
(σ ◦ (i j) ◦ σ
−1
)(k) = σ(σ
−1
(k)) = k.
• Finalement, nous avons montré que
σ ◦ (i j) ◦ σ
−1
= (σ(i) σ( j)).
2. Nous allons chercher à utiliser la question précédente avec les transpositions dont
nous disposons. En choisissant la transposition (1 2) et la permutation σ = (2 3), on
obtient
(2 3) ◦ (1 2) ◦ (2 3) = (1 3).
Est-il possible d’obtenir la transposition (1 4) ? Si l’on veut appliquer la méthode
de la question précédente, il nous faut trouver une permutation σ envoyant 1 sur 1
et 3 sur 4, ou 1 sur 4 et 3 sur 3. La transposition (3 4) convient. Nous avons donc
(3 4) ◦ (1 3) ◦ (3 4) = (1 4).
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Chapitre 10 • Algèbre générale
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