Contrairement aux exemples précédents, il ne suffira pas ici de tracer la partie de
la courbe correspondant à une variation de θ de 4π/3. En effet, les points correspondant à θ et θ + 4π/3 sont différents, même si ρ(θ) = ρ(θ + 4π/3). Pour que
les points correspondant à θ et θ + α soient identiques, il suffit que α soit multiple de 4π/3, pour que ρ ne change pas, et multiple de 2π, pour que θ ne change
pas. Le plus petit α convenable est α = 4π. Par conséquent, une fois qu’on a tracé
la courbe sur un intervalle de longueur 4π/3, il faut encore effectuer deux rotations d’angle 4π/3 pour obtenir la courbe complète.
• Remarquons encore que, quel que soit θ ∈ R, on a
ρ
θ +
2π
3
= sin
3θ
2
+ π
= −ρ(θ).
Cela signifie que pour passer du point de coordonnées polaires (ρ(θ),θ) au point de
coordonnées polaires (ρ(θ + 2π/3),θ + 2π/3), on effectue une rotation d’angle
2π/3, puis une symétrie centrale, autrement dit, une rotation d’angle −π/3. Ce
point, joint au précédent, montre qu’il nous suffit d’étudier la fonction ρ sur un
intervalle de longueur 2π/3.
• Remarquons finalement que, quel que soit θ ∈ R, on a
ρ(−θ) = −ρ(θ).
On passe donc du point de coordonnées polaires (ρ(θ),θ) au point de coordonnées
polaires (ρ(−θ),−θ) en effectuant une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
Cela nous permet de restreindre encore l’intervalle d’étude à [0,π/3].
Résumons, à présent, la stratégie. Nous commençons par étudier la fonction ρ sur
l’intervalle [0,π/3]. On en déduit son comportement sur [−π/3,π/3], grâce au dernier point, puis sur [−π/3,π], grâce au deuxième point et donc sur R, grâce au premier point.
Étude sur l’intervalle [0,π/3]
Quel que soit θ ∈ [0,π/3], on a 3θ/2 ∈ [0,π/2] et donc
ρ(θ) = sin
3θ
2
0.
Étudions, à présent, le point correspondant à θ = 0. Ce point s’écrit (0,0) en coordonnées polaires et donc (0,0) en coordonnées cartésiennes. Puisque ρ(0) est nul,
nous savons que la tangente en ce point est dirigée par le vecteur
u 0 .
Étudions, à présent, le point correspondant à θ = π/3. Ce point s’écrit (1,π/3) en
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 9 • Courbes paramétrées
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la courbe correspondant à une variation de θ de 4π/3. En effet, les points correspondant à θ et θ + 4π/3 sont différents, même si ρ(θ) = ρ(θ + 4π/3). Pour que
les points correspondant à θ et θ + α soient identiques, il suffit que α soit multiple de 4π/3, pour que ρ ne change pas, et multiple de 2π, pour que θ ne change
pas. Le plus petit α convenable est α = 4π. Par conséquent, une fois qu’on a tracé
la courbe sur un intervalle de longueur 4π/3, il faut encore effectuer deux rotations d’angle 4π/3 pour obtenir la courbe complète.
• Remarquons encore que, quel que soit θ ∈ R, on a
ρ
θ +
2π
3
= sin
3θ
2
+ π
= −ρ(θ).
Cela signifie que pour passer du point de coordonnées polaires (ρ(θ),θ) au point de
coordonnées polaires (ρ(θ + 2π/3),θ + 2π/3), on effectue une rotation d’angle
2π/3, puis une symétrie centrale, autrement dit, une rotation d’angle −π/3. Ce
point, joint au précédent, montre qu’il nous suffit d’étudier la fonction ρ sur un
intervalle de longueur 2π/3.
• Remarquons finalement que, quel que soit θ ∈ R, on a
ρ(−θ) = −ρ(θ).
On passe donc du point de coordonnées polaires (ρ(θ),θ) au point de coordonnées
polaires (ρ(−θ),−θ) en effectuant une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
Cela nous permet de restreindre encore l’intervalle d’étude à [0,π/3].
Résumons, à présent, la stratégie. Nous commençons par étudier la fonction ρ sur
l’intervalle [0,π/3]. On en déduit son comportement sur [−π/3,π/3], grâce au dernier point, puis sur [−π/3,π], grâce au deuxième point et donc sur R, grâce au premier point.
Étude sur l’intervalle [0,π/3]
Quel que soit θ ∈ [0,π/3], on a 3θ/2 ∈ [0,π/2] et donc
ρ(θ) = sin
3θ
2
0.
Étudions, à présent, le point correspondant à θ = 0. Ce point s’écrit (0,0) en coordonnées polaires et donc (0,0) en coordonnées cartésiennes. Puisque ρ(0) est nul,
nous savons que la tangente en ce point est dirigée par le vecteur
u 0 .
Étudions, à présent, le point correspondant à θ = π/3. Ce point s’écrit (1,π/3) en
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 9 • Courbes paramétrées
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