Intervalle d’étude
La fonction ρ est définie sur R tout entier. Cependant, nous pouvons nous restreindre, pour son étude, à un intervalle plus petit, à l’aide des symétries.
Remarquons que, quel que soit θ ∈ R, on a
ρ(θ + 2π) = ρ(θ).
Par conséquent, il nous suffit d’étudier la fonction ρ sur un intervalle de longueur
2π, par exemple [0,2π] ou [−π,π] .
Remarquons encore que, quel que soit θ ∈ R, on a
ρ(−θ) = ρ(θ).
Cela signifie exactement que pour passer du point de coordonnées polaires (ρ(θ),θ)
au point de coordonnées polaires (ρ(−θ),−θ), on effectue une symétrie par rapport
à l’axe des abscisses. Une étude de la fonction ρ sur l’intervalle [0,π] nous permettra donc de la connaître sur l’intervalle [−π,π] et donc sur R, d’après le point précédent.
Étude sur l’intervalle [0,π]
Pour tracer la courbe, il nous suffit de connaître le signe de la fonction ρ ainsi que
les points correspondant aux extrémités de l’intervalle d’étude et les directions des
tangentes en ces points. En particulier, il n’est pas utile de dresser le tableau de
variations de la fonction ρ.
Quel que soit θ ∈ [0,π], on a
ρ(θ) = 2(1 + cos(θ)) 0.
Étudions, à présent, le point correspondant à θ = 0. Ce point s’écrit (4,0) en coordonnées polaires et donc (4,0) en coordonnées cartésiennes. La tangente en ce point
est dirigée par le vecteur
ρ
(0) u 0 + ρ(0) v 0 = 4 v 0 .
Étudions, à présent, le point correspondant à θ = π. Ce point s’écrit (0,π) en coordonnées polaires et donc (0,0) en coordonnées cartésiennes. Puisque ρ(π) est nul,
nous savons que la tangente en ce point est dirigée par le vecteur
u π .
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Chapitre 9 • Courbes paramétrées
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