Étude des branches à l’infini
Avant de tracer la courbe, il nous reste à étudier les branches à l’infini.
L’étude au voisinage de t = −2 est particulièrement simple. En effet, la fonction y
admet une limite finie en t = −2, alors que la fonction x tend vers l’infini. On en
déduit aussitôt que la courbe possède une asymptote horizontale d’équation
y = −8/3.
Pour étudier le comportement au voisinage des autres valeurs de t, nous aurons
besoin d’étudier la fonction y/x. Calculons-la dès à présent :
∀t ∈ R \ {−2,0,1},
y(t)
x(t)
=
(t − 2)(t + 2)
t 2
=
t 2 − 4
t 2 .
Plaçons-nous, à présent, au voisinage de −∞. On a
lim
t→−∞
y(t)
x(t)
= 1.
Par conséquent, la courbe possède une direction asymptotique d’équation y = x .
Calculons-la plus précisément :
lim
t→−∞
y(t) − x(t) = lim
t→−∞
−4t
(t − 1)(t + 2)
= 0.
Par conséquent, la droite d’équation y = x est asymptote à la courbe lorsque t tend
vers −∞. Un calcul similaire nous montre que cette droite est encore asymptote
lorsque t tend vers +∞.
Plaçons-nous, à présent, au voisinage de t = 1. On a
lim
t→1
y(t)
x(t)
= −3.
Par conséquent, la courbe possède direction asymptotique d’équation y = −3x .
Calculons-la plus précisément :
lim
t→1
y(t) + 3x(t) = lim
t→1
4t 3 − 4t
(t − 1)(t + 2)
= lim
t→1
4t (t + 1)
t + 2
=
8
3
.
Par conséquent, la droite d’équation y = −3x + 8/3 est asymptote à la courbe
lorsque t tend vers 1.
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Chapitre 9 • Courbes paramétrées
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