Exercice 9.3 : Courbe rationnelle
Tracer la courbe C définie, en coordonnées cartésiennes, par :

  
  
x(t) =
t 3
(t − 1)(t + 2)
y(t) =
t 2 − 2t
t − 1
Intervalle d’étude
La fonction x est définie sur R \ {−2,1} et la fonction y est définie sur R \ {1}. Ces
fonctions ne présentent pas de symétrie visible. Aussi les étudierons-nous simplement sur leurs intervalles de définition.
Étude des fonctions
Dressons le tableau de variation des fonctions x et y. Calculons, tout d’abord, leur
dérivée, là où elle est définie :

  
  
∀t ∈ R \ {−2,1}, x (t) =
t 2 (t 2 + 2t − 6)
(t − 1) 2 (t + 2) 2
R \ {1},
y (t) =
t 2 − 2t + 2
(t − 1) 2
Le polynôme X 2 + 2X − 6 possède deux racines : −1 −
√
7 et −1 +
√
7. En
revanche, le discriminant du polynôme X 2 − 2X + 2 est strictement négatif et ce
polynôme ne prend donc que des valeurs strictement positives sur R.
Nous pouvons, à présent, dresser le tableau de variation :
226
Partie 2 • Analyse
t
x'
y'
x
y
– ∞
– ∞
– ∞
– ∞
– ∞
– ∞
+ ∞
+ ∞
+ ∞
+ ∞
+ ∞
+ ∞
0
0
+
–
–
–
+
+
+
+
+
+
– 1 – √ 7
– 1 + √ 7
– 2
1
α
β
8
3
–
Nous avons noté α = x(−1 −
√
7) −6,34 et β = x(−1 +
√
7) 1,89.
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