Par conséquent, il nous suffit d’étudier les fonctions x et y sur un intervalle de longueur 2π.
Remarquons encore que, quel que soit t ∈ R , on a
x(t + π) = −x(t) et y(t + π) = −y(t).
Cela signifie que l’on passe du point de coordonnées cartésiennes (x(t),y(t)) au
point de coordonnées cartésiennes (x(t + π),y(t + π)) en effectuant une symétrie
par rapport à l’origine O. Cette remarque nous permet de restreindre l’étude à un
intervalle de longueur π.
Remarquons également que, quel que soit t ∈ R , on a
x
t +
π
2
= −y(t) et y
t +
π
2
= x(t).
Cela signifie que l’on passe du point de coordonnées cartésiennes (x(t),y(t)) au
point de coordonnées cartésiennes (x(t + π/2),y(t + π/2)) en effectuant une rotation d’angle π/2. Cette remarque nous permet de restreindre l’étude à un intervalle
de longueur π/2.
Remarquons finalement que, quel que soit t ∈ R , on a
x(−t) = x(t) et y(−t) = −y(t).
Cela signifie que l’on passe du point de coordonnées cartésiennes (x(t),y(t)) au
point de coordonnées cartésiennes (x(−t),y(−t)) en effectuant une symétrie par
rapport à l’axe des abscisses. Une étude des fonctions x et y sur l’intervalle [0,π/4]
nous permettra donc de les connaître sur l’intervalle [−π/4,π/4], ce qui nous suffit pour tracer entièrement la courbe, d’après le point précédent.
Étude sur l’intervalle [0,π/4]
Dressons le tableau de variation des fonctions x et y sur l’intervalle [0,π/4].
Calculons, tout d’abord, leur dérivée :
x (t) = −12 sin(t)cos 2 (t)
y (t) = 12 cos(t)sin
2
(t)
.
Le tableau de variation prend la forme suivante :
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Partie 2 • Analyse
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