Calculons également les coordonnées des points situés aux extrémités de l’intervalle d’étude, ainsi que la direction des tangentes en ces points.
Le point correspondant à t = 0 a pour coordonnées cartésiennes (0,0). Le vecteur
(x (0),y (0)) = (0,0) ne nous donne pas d’information sur la tangente à la courbe
en ce point. Aussi devons-nous calculer des dérivées supplémentaires. Le vecteur de
coordonnées (x (0),y (0)) = (0,1) = j n’étant pas nul, il dirige la tangente à la
courbe.
Le point correspondant à t = π a pour coordonnées cartésiennes (π,2). Le vecteur
(x (π),y (π)) = (2,0) = 2 i n’étant pas nul, il dirige la tangente à la courbe.
Tracé de la courbe
Nous traçons tout d’abord la portion de la courbe correspondant à t ∈ [0,π]. Cette
partie est tracée en gras. Le reste de la courbe est obtenu par les arguments de symétrie décrits lors de la détermination de l’intervalle d’étude
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 9 • Courbes paramétrées
0
0
– 2
– 4
– 6
– 8
– 10
2
2
4
6
8
10
π
Exercice 9.2 : Astroïde
Tracer la courbe C définie, en coordonnées cartésiennes, par :
x(t) = 4 cos 3 (t)
y(t) = 4 sin
3
(t)
Intervalle d’étude
Les fonctions x et y sont définies sur R tout entier. Cependant, nous pouvons nous
restreindre, pour leur étude, à un intervalle plus petit, à l’aide des symétries.
Remarquons que, quel que soit t ∈ R , on a
x(t + 2π) = x(t) et y(t + 2π) = y(t).
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