Intervalle d’étude
Les fonctions x et y sont définies sur R tout entier. Cependant, nous pouvons nous
restreindre, pour leur étude, à un intervalle plus petit, à l’aide des symétries.
Remarquons que, quel que soit t ∈ R , on a
x(t + 2π) = 2π + x(t) et y(t + 2π) = y(t).
Cela signifie que l’on passe du point de coordonnées cartésiennes (x(t),y(t)) au
point de coordonnées cartésiennes (x(t + 2π),y(t + 2π)) en effectuant une translation de vecteur 2π i . Par conséquent, il nous suffit d’étudier les fonctions x et y sur
un intervalle de longueur 2π, par exemple [0,2π] ou [−π,π] .
Remarquons encore que, quel que soit t ∈ R , on a
x(−t) = −x(t) et y(−t) = y(t).
Cela signifie que l’on passe du point de coordonnées cartésiennes (x(t),y(t)) au
point de coordonnées cartésiennes (x(−t),y(−t)) en effectuant une symétrie par
rapport à l’axe des ordonnées. Une étude des fonctions x et y sur l’intervalle [0,π]
nous permettra donc de les connaître sur l’intervalle [−π,π] et donc sur R, d’après
le point précédent.
Étude sur l’intervalle [0,π]
Dressons le tableau de variation des fonctions x et y sur l’intervalle [0,π].
Calculons, tout d’abord, leur dérivée :
x (t) = 1 − cos(t)
y (t) = sin(t)
.
On en déduit aussitôt que, quel que soit t ∈ [0,π], on a x (t) 0 et y (t) 0.
Le tableau de variation prend la forme suivante :
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Partie 2 • Analyse
t
π
π
x'
y'
x
y
0
0
0
2
0
0
2
0
+
+
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