Il n’y a aucune hésitation à avoir : le domaine d’intégration est un disque donc le
changement de variable polaire s’impose !
• Tout d’abord, changeons les variables dans la fonction à intégrer :
Notons (r,θ) les coordonnées polaires d’un point de coordonnées cartésiennes
(x,y). Alors :
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
et donc : e −(x 2 +y 2 ) = e −r 2 .
• D’après le cours, l’élément différentiel polaire est rdrdθ.
• Enfin, il faut déterminer le nouveau domaine d’intégration.
Autrement dit, nous devons décrire le disque D a par des encadrements portant sur
r et θ, de sorte qu’aucun point du disque n’apparaisse plusieurs fois dans cette description, ou au pire que l’ensemble des points qui apparaissent plusieurs fois soit
d’aire nulle.
En l’occurence, on peut décrire les points de D a par
0 r a
0 θ 2π
Les points qui sont décrits plusieurs fois sont l’origine (r = 0, θ quelconque) et les
points du segment [0,1] × {0} de R 2 , pour lesquels r est donné mais θ peut valoir
0 ou 2π.
Les points de D a décrits de plusieurs manières forment donc un ensemble d’aire
nulle : nous pouvons donc prendre 0 et a comme bornes d’intégration sur la
variable r et 0 et 2π comme bornes pour θ.
• On peut enfin écrire la formule de changement de variable polaire :
I a =
D a
e
−(x 2 +y 2 ) dxdy =
2π
0
a
0
e
−r 2 rdrdθ.
Calculons l’intégrale intérieure :
a
0
e
−r 2 rdr =
−
1
2
e
−r 2
a
0
=
1
2
−
1
2
e
−a 2 .
Et enfin, le résultat ne dépendant pas de θ, l’intégrale extérieure est immédiate :
I a =
2π
0
1
2
−
1
2
e
−a 2
dθ = π
1 − e
−a 2
.
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Partie 2 • Analyse
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