Ainsi :
J =
1
0
1
2
(x
4
− 2x
3
+ x
2
)dx
=
1
2
1
5
x
5
−
1
2
x
4
+
1
3
x
3
1
0
=
1
60
.
Si l’on avait plutôt écrit
J =
1
0
1−y
0
x
2 ydxdy
on aurait fait des calculs analogues, en intégrant d’abord par rapport à x puis par
rapport à y ; le résultat obtenu est le même.
Plus précisément :
1−y
0
x
2 ydx =
1
3
x
3 y
1−y
0
=
1
3
((1 − y)
3 y)
=
1
3
(−y
4
+ 3y
3
− 3y
2
+ y)
puis
J =
1
0
1
3
(−y
4
+ 3y
3
− 3y
2
+ y)dy
= −
1
3
1
5
y
5
−
3
4
y
4
+ y
3
−
1
2
y
2
1
0
=
1
60
.
Exercice 8.11 : Intégrale double en polaires
Dans R 2 on désigne par D a le disque de centre (0,0) et de rayon a > 0.
Calculer
I a =
D a
e
−(x 2 +y 2 ) dxdy.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 8 • Intégration
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J =
1
0
1
2
(x
4
− 2x
3
+ x
2
)dx
=
1
2
1
5
x
5
−
1
2
x
4
+
1
3
x
3
1
0
=
1
60
.
Si l’on avait plutôt écrit
J =
1
0
1−y
0
x
2 ydxdy
on aurait fait des calculs analogues, en intégrant d’abord par rapport à x puis par
rapport à y ; le résultat obtenu est le même.
Plus précisément :
1−y
0
x
2 ydx =
1
3
x
3 y
1−y
0
=
1
3
((1 − y)
3 y)
=
1
3
(−y
4
+ 3y
3
− 3y
2
+ y)
puis
J =
1
0
1
3
(−y
4
+ 3y
3
− 3y
2
+ y)dy
= −
1
3
1
5
y
5
−
3
4
y
4
+ y
3
−
1
2
y
2
1
0
=
1
60
.
Exercice 8.11 : Intégrale double en polaires
Dans R 2 on désigne par D a le disque de centre (0,0) et de rayon a > 0.
Calculer
I a =
D a
e
−(x 2 +y 2 ) dxdy.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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