1
0
(x + y)
2 dy =
1
3
(x + y)
3
1
0
=
1
3
((x + 1)
3
− x
3
)
=
1
3
(3x
2
+ 3x + 1)
puis
I =
2
0
1
3
(3x
2
+ 3x + 1)dx
=
1
3
x
3
+
3
2
x
2
+ x
2
0
=
16
3
.
2. Cherchons une description de T à l’aide d’encadrements de x et y.
On peut voir T comme l’ensemble des couples (x,y) avec 0 x 1 et
0 y 1 − x. Dans ce cas, J =
1
0
1−x
0
x
2 ydydx .
Nous n’avons plus le choix de l’ordre d’intégration : la dernière intégrale (celle
qui se trouve à l’extérieur) doit avoir des bornes fixes pour avoir un sens !
Si l’on préfère décrire T comme l’ensemble des couples (x,y) avec 0 x 1 − y
et 0 y 1, il faut intégrer dans l’autre sens : J =
1
0
1−y
0
x
2 ydxdy.
D’après le cours, les deux calculs donnent bien le même résultat.
Les éléments de T sont décrits par les encadrements :
0 x 1
0 y 1 − x
On a donc :
J =
1
0
1−x
0
x
2 ydydx.
Intégrale intérieure : x est constant et
1−x
0
x
2 ydy =
x
2 y 2
2
1−x
0
=
1
2
x
2
(1 − x)
2
=
1
2
(x
4
− 2x
3
+ x
2
).
218
Partie 2 • Analyse
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0
(x + y)
2 dy =
1
3
(x + y)
3
1
0
=
1
3
((x + 1)
3
− x
3
)
=
1
3
(3x
2
+ 3x + 1)
puis
I =
2
0
1
3
(3x
2
+ 3x + 1)dx
=
1
3
x
3
+
3
2
x
2
+ x
2
0
=
16
3
.
2. Cherchons une description de T à l’aide d’encadrements de x et y.
On peut voir T comme l’ensemble des couples (x,y) avec 0 x 1 et
0 y 1 − x. Dans ce cas, J =
1
0
1−x
0
x
2 ydydx .
Nous n’avons plus le choix de l’ordre d’intégration : la dernière intégrale (celle
qui se trouve à l’extérieur) doit avoir des bornes fixes pour avoir un sens !
Si l’on préfère décrire T comme l’ensemble des couples (x,y) avec 0 x 1 − y
et 0 y 1, il faut intégrer dans l’autre sens : J =
1
0
1−y
0
x
2 ydxdy.
D’après le cours, les deux calculs donnent bien le même résultat.
Les éléments de T sont décrits par les encadrements :
0 x 1
0 y 1 − x
On a donc :
J =
1
0
1−x
0
x
2 ydydx.
Intégrale intérieure : x est constant et
1−x
0
x
2 ydy =
x
2 y 2
2
1−x
0
=
1
2
x
2
(1 − x)
2
=
1
2
(x
4
− 2x
3
+ x
2
).
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Partie 2 • Analyse
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