Exercice 8.10 : Intégrales doubles : rectangle et triangle
1. Soit R le rectangle [0,2] × [0,1]. Calculer
I =
R
(x + y)
2 dxdy.
2. Soit T le triangle de sommets (0,0), (1,0) et (0,1). Calculer
J =
T
x
2 ydxdy.
1. Il s’agit d’une intégrale sur un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes :
autrement dit, le domaine d’intégration est l’ensemble des couples (x,y) avec
0 x 2 et 0 y 1.
Dans cette situation, c’est-à-dire quand les deux variables varient entre des bornes
fixes, nous avons le choix de l’ordre d’intégration : c’est le théorème de Fubini.
On a
R
(x + y)
2 dxdy =
1
0
2
0
(x + y)
2 dxdy
Calculons l’intégrale intérieure : on considère y comme une constante. Il
vient :
2
0
(x + y)
2 dx =
1
3
(x + y)
3
2
0
=
1
3
((y + 2)
3
− y
3
)
=
1
3
(6y
2
+ 12y + 8)
d’où :
I =
1
0
1
3
(6y
2
+ 12y + 8)dy
=
1
3
2y
3
+ 6y
2
+ 8y
1
0
=
16
3
.
D’après le théorème de Fubini on aurait pu intégrer d’abord par rapport à y puis par
rapport à x. Cela aurait donné les calculs suivants :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 8 • Intégration
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