Les deux premiers termes tendent clairement vers 0 quand x tend vers +∞. Reste
à traiter l’intégrale : cette fois, la majoration fournira un résultat intéressant.
Une majoration grossière donne
2x
x
sin(t)
t 2
2x
x
1
t 2 dt =
1
2x
.
Ainsi, l’expression de f (x) trouvée plus haut est la somme de trois termes
tendant vers 0 quand x tend vers +∞ : on a donc lim
x→+∞
f (x) = 0.
3. Le problème de la définition de f est que la fonction intégrée diverge en 0. Dans
l’intégrale qu’il est ici suggéré d’étudier, on peut effectuer une majoration simple,
encore une fois grâce à une formule de trigonométrie.
Comme cos(t) − 1 = −2 sin
2
(t/2) pour tout réel t on a :
∀x ∈ R
∗
+ ,
2x
x
cos(t) − 1
t
dt = −
2x
x
2 sin
2
(t/2)
t
dt.
En utilisant l’inégalité |sin(θ)| |θ|, vraie pour tout réel |θ|, il vient successivement, pour tout réel x > 0 :
2x
x
cos(t) − 1
t
dt
2x
x
2sin
2
(t/2)
t
dt
2x
x
t 2 /2
t
dt =
3x 2
4
.
Ainsi, lim
x→0
2x
x
cos(t) − 1
t
dt
= 0.
Par ailleurs :
f (x) =
2x
x
cos(t)
t
dt =
2x
x
cos(t) − 1
t
dt +
2x
x
1
t
dt
et
2x
x
1
t
dt = ln(2).
En conclusion :
lim
x→0
f (x) = ln(2).
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Partie 2 • Analyse
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