Formulé autrement : si on pose F(x) =
x
1
cos(t)
t dt (qui est, d’après le cours, la primitive nulle en 1 de x →
cos(x)
x ), on a f (x) = F(2x) − F(x).
La fonction t →
cos(t)
t
est définie et continue sur R ∗
+ et possède donc une
primitive F.
Par ailleurs, f (x) = F(2x) − F(x) donc, F étant dérivable, f l’est également. De plus :
∀x ∈ R
∗
+ , f (x) = 2 F
(2x) − F
(x)
soit
∀x ∈ R
∗
+ , f
(x) = 2
cos(2x)
2x
−
cos(x)
x
=
cos(2x) − cos(x)
x
ou
encore,
en
utilisant
la
relation
cos(2x) − cos(x) =
−2 sin(x/2)sin(3x/2) :
∀x ∈ R
∗
+ , f
(x) = −2
sin(x/2)sin(3x/2)
x
L’utilisation de la formule de trigonométrie pour factoriser la dernière expression
n’est pas absolument nécessaire au regard de la question posée. Ceci dit, il est utile
de savoir factoriser ce genre d’expression pour pouvoir, si nécessaire, déterminer
aisément le signe et les points d’annulation de la fonction.
2. Une majoration directe ne permet pas de conclure. En effet, la seule majoration
simple possible du cosinus sur R est la constante 1. On obtient alors :
∀x ∈ R
∗
+ , | f (x)|
2x
x
1
t
dt = ln(2)
qui ne permet pas de conclure.
L’idée de l’intégration par partie est de faire apparaître 1/t 2 dans l’intégrale, ce qui
fournira un terme en 1/x dans la majoration.
Nous allons donc « dériver 1/t et primitiver cos(t) ».
D’après la formule d’intégration par parties :
2x
x
cos(t)
t
dt =
sin(t)
t
2x
x
+
2x
x
sin(t)
t 2 dt
=
sin(2x)
2x
−
sin(x)
x
+
2x
x
sin(t)
t 2 dt.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
215
Chapitre 8 • Intégration
9782100547678-Fresl-C8.qxd 5/07/10 9:26 Page 215