Ceci signifie exactement, par définition de la limite d’une suite, que
lim
n→∞
b
a
f (t)sin(nt)dt = 0.
On voit que, pour arriver à « ε » à la fin, il a fallu écrire le théorème d’approximation avec h. Ceci est courant et, pour trouver la bonne forme de h à poser,
il est généralement utile de commencer avec h puis, a posteriori, de choisir h en
fonction de ε pour obtenir exactement l’inégalité souhaitée.
Exercice 8.9 : Étude d’une fonction définie par une intégrale
Pour x ∈ R ∗
+ on pose
f (x) =
2x
x
cos(t)
t
dt.
1. Montrer que f est dérivable sur R ∗
+ et donner une expression de sa dérivée sans
symbole intégral (ne pas chercher une primitive explicite de la fonction intégrée).
2. Montrer que lim
x→+∞
f (x) = 0 (on pourra intégrer par parties avant de majorer
l’intégrale).
3. Montrer que f possède une limite finie en 0 que l’on déterminera. On pourra
étudier le comportement quand x tend vers 0 de
2x
x
cos(t) − 1
t
dt.
1. La fonction intégrée ne possède pas de primitive exprimable à l’aide des fonctions usuelles ; les changements de variable ou intégrations par parties que l’on
pourrait être tenté d’essayer ne simplifient pas l’expression.
Cependant, nous savons calculer les dérivées d’expressions de ce type ; plus précisément, la dérivée d’une application de la forme x →
x
a g(t)dt, avec a fixé et g
continue, est tout simplement la fonction g (ce résultat est parfois appelé théorème
fondamental de l’analyse). Ici, x apparaît dans les deux bornes, ce qui n’est pas
contraignant car on peut utiliser la relation de Chasles :
2x
x
cos(t)
t
dt =
1
x
cos(t)
t
dt +
2x
1
cos(t)
t
dt =
2x
1
cos(t)
t
dt −
x
1
cos(t)
t
dt.
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Partie 2 • Analyse
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