3. Commençons par raisonner qualitativement.
On sait que, si ϕ est une fonction en escalier sur [a,b],
b
a
ϕ(t)sin(nt)dt est proche
de 0 pour n assez grand. De plus, f étant continue par morceaux, on sait qu’on peut
l’approcher aussi près que l’on veut par une fonction en escalier ϕ et donc que les
intégrales de f et de ϕ seront proches ; ainsi, pour n assez grand,
b
a
f (t)sin(nt)dt
est proche de 0.
Ainsi, on commencera par approcher f par une fonction en escalier ϕ puis on considérera des entiers assez grands pour que
b
a
ϕ(t)sin(nt)dt soit proche de 0.
Il reste maintenant à formaliser ceci en utilisant rigoureusement le théorème d’approximation des fonctions continues par morceaux par les fonctions en escalier.
Soit un réel h > 0.
f étant continue par morceaux sur le segment [a,b] il existe une fonction ϕ
en escalier sur [a,b] telle que : ∀x ∈ [a,b],| f (x) − ϕ(x)| h.
De plus, lim
n→∞
b
a
ϕ(t)sin(nt)dt = 0 ; il existe donc un entier naturel N tel
que, pour tout entier n N,
b
a
ϕ(t)sin(nt)dt
h .
On a donc, pour n N :
b
a
f (t)sin(nt)dt
=
b
a
( f (t) − ϕ(t))sin(nt)dt +
b
a
ϕ(t)sin(nt)dt
b
a
( f (t)−ϕ(t))sin(nt)dt
+
b
a
ϕ(t)sin(nt)dt
b
a
| f (t) − ϕ(t)||sin(nt)|dt + h
(b − a + 1)h.
Considérons maintenant un réel ε > 0. Posons h = ε/(b − a + 1). Soit ϕ
la fonction en escalier et N l’entier naturel ci-dessus correspondant à ce
choix de h.
On a alors, pour tout entier n N :
b
a
f (t)sin(nt)dt
ε .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 8 • Intégration
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