2. f étant en escalier sur [a,b] il existe un entier naturel non nul p, une subdivision
a = c 0 < · · · < c p = b de [a,b] et p nombres réels (pas forcément distincts)
λ 0 ,. . . ,λ p−1 tels que, pour tout k ∈ {0,. . . , p − 1} , et pour tout x ∈]c k ,c k+1 [ ,
f (x) = λ k .
Attention au choix des notations! La lettre n étant déjà prise par l’énoncé il faut
en choisir une nouvelle pour numéroter les éléments de la subdivision.
Sur chacun des intervalles ]c k ,c k+1 [ le calcul est simple puisque f y est constante ;
nous allons donc découper le segment [a,b] aux points c k à l’aide de la relation de
Chasles.
D’après la relation de Chasles :
b
a
f (t)sin(nt)dt =
p−1
k=0
c k+1
c k
f (t)sin(nt)dt.
Or, à k fixé et pour n ∈ N ∗ quelconque :
c k+1
c k
f (t)sin(nt)dt =
c k+1
c k
λ k sin(nt)dt
=
−λ k
cos(nt)
n
c k+1
c k
=
λ k
n
(cos(n c k+1 ) − cos(n c k )).
Comme la fonction cosinus est bornée en valeur absolue par 1 sur R on a
donc :
c k+1
c k
f (t)sin(nt)dt
2|λ k |
n
.
On conclut avec la relation de Chasles donnée plus haut :
b
a
f (t)sin(nt)dt
=
p−1
k=0
c k+1
c k
f (t)sin(nt)dt
p−1
k=0
c k+1
c k
f (t)sin(nt)dt
2
n
(|λ 0 | + · · · + |λ p−1 |).
Ainsi : lim
n→∞
b
a
f (t)sin(nt)dt = 0 .
212
Partie 2 • Analyse
9782100547678-Fresl-C8.qxd 5/07/10 9:26 Page 212