Exercice 8.8 : Lemme de Riemann-Lebesgue (MPSI)
Soient deux réels a et b avec a < b.
1. Soit f ∈ C 1 ([a,b],R). Montrer que lim
n→∞
b
a
f (t)sin(nt)dt = 0 .
2. Soit f une fonction en escalier sur [a,b]. Montrer qu’on a encore
lim
n→∞
b
a
f (t)sin(nt)dt = 0 .
3. En déduire que ce résultat reste vrai pour une fonction continue par morceaux
sur [a,b].
1. f étant de classe C 1 on peut intégrer par parties en dérivant f ; un facteur 1/n apparaîtra dans une primitive de sin(nt) ce qui permettra de montrer que la limite est
bien nulle.
L’intégration par parties est bien un argument spécifique aux fonctions de classe C 1 :
ce calcul sera impossible dans les questions suivantes car la fonction f n’y sera
même plus nécessairement continue.
En intégrant par parties on a, pour n = / 0 :
b
a
f (t)sin(nt)dt =
f (t)
−cos(nt)
n
b
a
+
1
n
b
a
f
(t)cos(nt)dt.
D’une part, le crochet vaut
1
n
( f (a)cos(na) − f (b)cos(nb)) qui tend vers 0
quand n tend vers +∞.
D’autre part, on peut majorer la dernière intégrale en introduisant le réel
M = max{| f
(t)| : t ∈ [a,b]}
(qui existe car f est continue sur le segment [a,b]) :
1
n
b
a
f
(t)cos(nt)dt
M(b − a)
n
donc cette intégrale tend aussi vers 0 quand n tend vers +∞.
Ainsi, on a bien lim
n→∞
b
a
f (t)sin(nt)dt = 0 .
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Chapitre 8 • Intégration
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