3. Cette majoration est vraie pour tout réel a et tout réel strictement positif h ; en
particulier, en prenant h = 1, on a
∀a ∈ R,| f
(a)| ϕ(1)
ce qui montre que f est bornée sur R : ainsi, M 1 est bien défini.
Pour tout réel h > 0 le nombre ϕ(h) est un majorant de | f | : on a donc M 1 ϕ(h).
Il n’y a plus qu’à déterminer l’éventuel minimum m de ϕ sur R ∗
+ : on aura alors
M 1 m. Pour cela, il suffit d’étudier ϕ.
Étudions la fonction ϕ sur R ∗
+ .
ϕ est dérivable et on a, pour tout h ∈ R ∗
+ :
ϕ
(h) = −
M 0
h 2 +
M 2
2
donc ϕ possède un minimum en
h 0 =
2M 0
M 2
.
En particulier, M 1 ϕ(h 0 ). Or
ϕ(h 0 ) = M 0
M 2
2M 0
+
M 2
2
2M 0
M 2
=
M 0 M 2
2
+
M 0 M 2
2
=
2M 0 M 2
d’où le résultat demandé :
M 1
2M 0 M 2
Nous avions ici une relation vraie pour tout a ∈ R et h ∈ R ∗
+ .
Dans cette situation, nous avons le choix entre fixer a et considérer ainsi une
minoration de la fonction ϕ par une constante ou fixer h et obtenir ainsi une majoration de | f | par une constante.
210
Partie 2 • Analyse
9782100547678-Fresl-C8.qxd 5/07/10 9:26 Page 210