Dans la situation présentée ici, on peut prendre M = M 2 et b = a ± h, ce qui fournit les deux inégalités :
| f (a + h) − ( f (a) + h f
(a))|
h 2
2
M 2
et
| f (a − h) − ( f (a) − h f
(a))|
h 2
2
M 2 .
La difficulté est d’obtenir une majoration de | f (a)| ; on peut tenter de faire apparaître l’inégalité triangulaire.
Pour voir comment faire, commençons par manipuler les expressions ci-dessus sans
les valeurs absolues. Il est alors simple de faire apparaître f (a) par soustraction :
f (a + h) − ( f (a) + h f
(a))
−
f (a − h) − ( f (a) − h f
(a))
= −2h f
(a) + f (a + h) − f (a − h)
puis on isole f (a) en changeant le terme f (a + h) − f (a − h) de membre.
On a la relation :
−2h f (a) =
f (a + h) − ( f (a) + h f (a))
−
f (a − h) − ( f (a) − h f (a))
+ f (a − h) − f (a + h)
L’inégalité triangulaire donne :
|2h f (a)|
| f (a + h) − ( f (a) + h f (a))| + | f (a − h)
−( f (a) − h f (a))| + | f (a − h)| + | f (a + h)|
h 2 M 2 + 2M 0
2h ϕ(h)
car, d’après l’inégalité de Taylor-Lagrange, les quantités | f (a + h)
−( f (a) + h f (a))| et | f (a − h) − ( f (a) − h f (a))| sont toutes deux
majorées par
h 2
2
M 2 .
En divisant par 2h, qui est strictement positif, on obtient l’inégalité souhaitée :
| f
(a)| ϕ(h).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
209
Chapitre 8 • Intégration
9782100547678-Fresl-C8.qxd 5/07/10 9:26 Page 209