2. On fixe un réel a.
Montrer que
∀h ∈ R
∗
+ ,| f
(a)| ϕ(h)
où la fonction ϕ est définie par :
ϕ(h) =
M 0
h
+
h M 2
2
.
On pourra pour cela commencer par écrire l’inégalité de Taylor-Lagrange sur les
intervalles [a,a + h] et [a − h,a].
3. En déduire que f est bornée sur R et que, en posant
M 1 = sup{| f
(x)| : x ∈ R}
on a la majoration :
M 1
2M 0 M 2 .
On remarque que cette majoration reste valable si M 2 = 0.
1. M 2 est un majorant de | f | qui est par ailleurs positive : si M 2 = 0 alors f = 0,
d’où f constante et enfin f est affine, i.e. est polynôme de degré inférieur ou égal à 1.
Il reste à déterminer ses coefficients : le raisonnement ci-dessus montre que sous
l’hypothèse de la question la fonction f est d’une certaine forme mais la réciproque
n’est pas forcément vraie !
C’est même clair : une fonction affine n’est pas bornée sur R... sauf si elle est
constante.
Autrement dit, nous venons encore une fois de raisonner par analyse-synthèse.
Si M 2 = 0, f = 0. f est donc constante et f est une fonction affine : il
existe deux réels a et b tels que
∀x ∈ R, f (x) = a x + b.
Cependant, f est bornée. On a donc a = 0 et ainsi f est constante.
2. Rappelons l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre 2 : si f est une application de
classe C 2 sur un intervalle I alors, pour tous éléments a et b de I :
| f (b) − f (a) − (b − a) f
(a)|
(b − a) 2
2
M
où M est un majorant de | f | sur [a,b].
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Partie 2 • Analyse
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