De même :
I 2n−2 ∼
π
4n − 4
∼
1
2
π
n
d’où lim
n→∞
(
√
n I 2n−2 ) =
1
2
√
π.
Enfin, par définition, lim
n→∞
F(
√
n) = .
On obtient donc, en passant à la limite dans l’encadrement précédent :
=
1
2
√
π
ce que l’on notera abusivement (avec une notation qui sera précisée en
deuxième année) :
+∞
0
e
−t 2 dt =
1
2
√
π.
Exercice 8.6 : Sommes de Riemann
1. Calculer lim
n→∞
n
−3/2
n
k=1
√
n + k
.
2. Calculer lim
n→∞
n
n!
2n
n
n n .
1. Il faut faire apparaître une expression de la forme :
b − a
n
n
k=1
f
a + k
b − a
n
dont on sait, d’après le cours, qu’elle converge vers
b
a
f (x)dx quand n tend vers
+∞.
Le plus simple, pour cela, est d’abord de faire apparaître dans le terme général de
la somme le quotient k/n, puis un facteur 1/n devant la somme ; pour cela nous utiliserons la relation
√
n + k =
√
n
1 +
k
n
.
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Chapitre 8 • Intégration
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