n
−3/2
n
k=1
√
n + k =
1
n
n
k=1
1 +
k
n
qui tend vers
1
0
√
1 + x dx lorsque n tend vers l’infini.
Il faut bien sûr désormais calculer cette intégrale ! Ici, le calcul est simple car on
reconnaît une dérivée usuelle ; en pratique, il peut bien sûr arriver que l’on obtienne
des intégrales plus compliquées nécessitant une intégration par parties ou un changement de variable.
1
0
√
1 + x dx =
1
0
(1 + x)
1/2 dx
=
(1 + x) 3/2
3/2
1
0
=
2
3
2
3/2
− 1
.
2. Il faut tout d’abord faire apparaîte des sommes de Riemann là où on n’en voit pas
encore !
L’expression donnée faisant intervenir des factorielles et des puissances, c’est-àdire des produits, nous allons plutôt considérer son logarithme.
Tout d’abord :
n!
2n
n
=
(2n)!
n!
= (n + 1) · · · (2n).
On a donc, en divisant chacun des n termes du produit par n :
n!
2n
n
n n =
1 +
1
n
· · ·
1 +
n
n
et enfin
ln
n!
2n
n
n n
= ln
1 +
1
n
+ · · · + ln
1 +
n
n
=
n
k=1
ln
1 +
k
n
.
206
Partie 2 • Analyse
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