Afin de faire apparaître une intégrale de Wallis on utilise la relation
1 + tan
2
(v) =
1
cos 2 (v)
, d’où :
√
n
0
1 +
t 2
n
−n
dt =
π/4
0
cos
2n−2
(v)dv.
Enfin, la fonction v → cos 2n−2 (v) est positive sur [0,π/2] et
[0,π/4] ⊂ [0,π/2] d’où :
π/4
0
cos
2n−2
(v)dv
π/2
0
cos
2n−2
(v)dv = I 2n−2
soit, en reportant dans le calcul initial :
√
n
0
1 +
t 2
n
−n
dt
√
n I 2n−2 .
Conclusion
Comme
√
n
0
e
−t 2 dt = F(
√
n) par définition de F on a donc :
√
n I 2n+1 F(
√
n)
√
n I 2n−2 .
4. Nous pouvons utiliser les équivalents des intégrales de Wallis afin de déterminer
les limites des expressions qui interviennent ici.
Calculons la limite quand n tend vers +∞ de chaque membre de l’encadrement.
On a I n ∼
π
2n
donc
I 2n+1 ∼
π
4n + 2
∼
1
2
π
n
car 4n + 2 ∼ 4n donc
√
4n + 2 ∼ 2
√
n .
On a donc : lim
n→∞
(
√
n I 2n+1 ) =
1
2
√
π .
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Partie 2 • Analyse
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