3. L’intégration suggérée donne l’encadrement :
√
n
0
1 −
t 2
n
n
dt
√
n
0
e
−t 2 dt
√
n
0
1 +
t 2
n
−n
dt.
Les changements de variables étant imposés par l’énoncé, il ne reste plus qu’à appliquer les formules du cours.
Membre de gauche
En posant t =
√
n sin(u) et u ∈ [−π/2; π/2] on a :
• Pour t = 0 (resp.
√
n ), u = 0 (resp. π/2) ;
•
1 −
t 2
n
n
=
1 − sin
2
(u)
n = cos
2n
(u) ;
• dt =
√
n cos(u)du.
Ainsi :
√
n
0
1 −
t 2
n
n
dt =
π/2
0
cos
2n
(u)(
√
n cos(u))du
=
√
n
π/2
0
cos
2n+1
(u)du
=
√
n I 2n+1 .
Membre de droite
En posant t =
√
n tan(v)et v ∈] − π/2; π/2[ on a :
• Pour t = 0 (resp.
√
n ), u = 0 (resp. π/4) ;
•
1 +
t 2
n
−n
=
1 + tan
2
(v)
−n ;
• dt =
√
n (1 + tan 2 (v))dv .
Ainsi :
√
n
0
1 +
t 2
n
−n
dt =
π/4
0
1 + tan
2
(v)
−n (
√
n(1 + tan
2
(v))dv
=
√
n
π/4
0
1 + tan
2
(v)
−n+1 dv.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 8 • Intégration
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