joue visiblement un rôle central dans l’exercice et nous allons essayer de démarrer
avec la plus simple inégalité de convexité la concernant : pour tout réel x,
1 + x e x .
Pour faire apparaître 1 −
t 2
n
, nous remplaçons simplement x par −
t 2
n
et on obtient
1 −
t 2
n
e
−t 2 /n .
Il n’y a plus qu’à élever à la puissance n pour obtenir ce que l’on souhaite… Mais
on ne peut en général pas élever à une puissance donnée des inégalités. C’est parce
que les deux membres sont positifs que ceci est possible.
On a l’inégalité de convexité :
∀x ∈ R,1 + x e
x
.
Etant donné un réel t ∈ [0,
√
n] on a donc :
0 1 −
t 2
n
e
−t 2 /n
.
Comme ces réels sont positifs et n ∈ N ∗ on en déduit en élevant à la puissance n :
1 −
t 2
n
n
e
−t 2 .
De même, pour t ∈ [0,
√
n] :
0 < 1 +
t 2
n
e
t 2 /n
.
Comme ces réels sont strictement positifs on obtient en élevant à la puissance n :
0 <
1 +
t 2
n
n
e
t 2
et enfin, en considérant l’inverse :
e
−t 2
1 +
t 2
n
−n
.
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Partie 2 • Analyse
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