soit, en développant le numérateur :
e x/2 ch(x/2)
ch(x)
=
e x + 1
e x + e −x
et enfin, en multipliant numérateur et dénominateur par e x :
e x/2 ch(x/2)
ch(x)
=
e 2x + e x
e 2x + 1
.
Avec u = e x on a donc
e 2x + e x
e 2x + 1
=
u 2 + u
u 2 + 1
.
Afin de terminer le changement de variable, il faut déterminer le nouvel élément différentiel.
Comme on a posé u = e x , on a x = ln(u), donc dx =
1
u
du. Il ne reste plus qu’à
écrire le résultat.
En posant u = e x il vient :
e x/2 ch(x/2)
ch(x)
dx =
u 2 + u
u 2 + 1
×
1
u
du
=
u + 1
u 2 + 1
du.
Nous allons essayer de faire apparaître un terme en f (u)/ f (u), dont une primitive
sera ln(| f (u)|) .
Le dénominateur étant u 2 + 1, nous voulons voir l’expression
2u
u 2 + 1
. En ajustant
le coefficient dominant du numérateur :
u + 1
u 2 + 1
=
1
2
2u + 2
u 2 + 1
=
1
2
2u
u 2 + 1
+
1
u 2 + 1
et chaque terme possède une primitive usuelle simple.
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Partie 2 • Analyse
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