8
15
1
−1
1
4u + 1
√
15
2
+ 1
du =
8
15
5/
√
15
−3/
√
15
1
y 2 + 1
√
15
4
dy
=
2
√
15
5/
√
15
−3/
√
15
1
y 2 + 1
dy
=
2
√
15
[Arctan(y)]
5/
√
15
−3/
√
15
=
2
√
15
(Arctan(5/
√
15) − Arctan(−3/
√
15))
=
2
√
15
(Arctan(5/
√
15) + Arctan(3/
√
15))
Enfin, vu que Arctan(a) + Arctan(1/a) =
π
2
si a > 0 on obtient, pour
a = 5/
√
15 (et 1/a = 3/
√
15) :
π
2
− π
2
1
4 + sin(t)
dt =
π
√
15
Une idée de démonstration de cette formule sur les Arctan est proposée à la fin de
l’exercice 5.11.
Exercice 8.4 : Changements de variable usuels : u = e x
Calculer
e x/2 ch(x/2)
ch(x)
dx
à l’aide du changement de variable u = e x .
Toute intégrale de la forme
F(e
x
)dx , avec F une fraction rationnelle, peut se calculer simplement à l’aide du changement de variable u = e x : on obtient alors à
coup sûr une intégrale de fraction rationnelle.
Ceci s’applique, en particulier, en présence de fonctions hyperboliques. Nous allons
exprimer la fonction à intégrer à l’aide de la seule fonction exponentielle.
e x/2 ch(x/2)
ch(x)
=
e x/2
e x/2 + e −x/2
2
e x + e −x
2
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 8 • Intégration
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