Nous nous sommes ainsi bien ramenés à une intégrale de fraction rationnelle, et
même mieux encore : elle est déjà décomposée en éléments simples! Nous échappons donc à cette étape fastidieuse.
En l’occurence, il s’agit de l’inverse d’un trinôme irréductible du second degré ;
nous allons donc le mettre sous forme canonique puis effectuer un changement de
variable affine pour faire apparaître une expression de la forme
1
y 2 + 1
qui pourra
alors s’intégrer avec la fonction arctangente.
On a, en mettant le trinôme du dénominateur sous forme canonique :
2u 2 + u + 2 =
2(u
2
+
1
2
u + 1)
= 2
u +
1
4
2
+
15
16
soit :
1
−1
1
2u 2 + u + 2
du =
1
2
1
−1
1
u +
1
4
2
+
15
16
du
=
8
15
1
−1
1
4u + 1
√
15
2
+ 1
du.
En effectuant le changement de variable y =
4u + 1
√
15
on a :
•
4u + 1
√
15
2
+ 1 = y
2
+ 1 ;
• dy =
4
√
15
du soit du =
√
15
4
dy
• Pour u = −1 (resp. 1), y = −
3
√
15
(resp.
5
√
15
) ;
d’où :
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Partie 2 • Analyse
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