Exercice 8.3 : Changements de variable usuels : u = tan(t/2)
Calculer l’intégrale suivante :
π
2
− π
2
1
4 + sin(t)
dt
en posant u = tan(t/2) .
Pour simplifier le résultat on admettra la formule suivante :
si a > 0, Arctan(a) + Arctan(1/a) = π/2
Les règles de Bioche ne permettent pas de trouver un changement de variable plus
simple en sinus ou cosinus.
Le changement de variable u = tan(t/2) fonctionne cependant dans tous les cas
pour les fractions rationnelles de fonctions circulaires comme ici.
Nous savons en effet qu’alors sin(t) =
2u
1 + u 2 et (mais c’est inutile ici)
cos(t) =
1 − u 2
1 + u 2 .
De plus, on a
du =
1
2
(1 + tan
2
(t/2))dt =
1 + u 2
2
dt
soit encore dt =
2
1 + u 2 du .
Ainsi, nous aurons bien, tous calculs faits, l’intégrale d’une fraction rationnelle en u.
En posant u = tan(t/2) pour t ∈ [−π/2,π/2] on a :
• sin(t) =
2u
1 + u 2 ;
• dt =
2
1 + u 2 du .
• Pour t = −π/2 (resp. π/2), u = −1 (resp. 1) ;
Ainsi :
π
2
− π
2
1
4 + sin(t)
dt =
1
−1
1
4 +
2u
1 + u 2
2
1 + u 2 du
=
1
−1
1
2u 2 + u + 2
du.
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Chapitre 8 • Intégration
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