D’après les formules usuelles nous avons successivement :
u
(u − 1)(1 + u) 2 du =
1/4
u − 1
−
1/4
1 + u
+
1/2
(1 + u) 2
du
=
1
4
ln(|u − 1|) −
1
4
ln(|1 + u|) −
1
2
1
1 + u
=
1
4
ln
u − 1
u + 1
−
1
2
1
1 + u
Retour à la variable initiale
En remplaçant u par cos(t) il apparaîtra deux termes simplifiables par les formules
de trigonométrie : 1 + cos(t) = 2cos 2 (t/2) et 1 − cos(t) = 2sin
2
(t/2) , sans
oublier que
1
cos 2 = 1 + tan
2 ; nous pourrons donc ainsi tout exprimer en termes de
la seule fonction tangente.
Comme u = cos(t) on a
u − 1
u + 1
=
1 − cos(t)
1 + cos(t)
= tan
2
(t/2)
et
1
1 + u
=
1
1 + cos(t)
=
1
2cos 2 (t/2)
=
1
2
(1 + tan
2
(t/2))
soit, en remplaçant dans la primitive trouvée plus haut :
1
sin(t) + tan(t)
dt =
1
2
ln|tan(t/2)| −
1
4
(1 + tan
2
(t/2)).
Pour finir, notons que l’on cherchait ici une primitive de la fonction et que le résultat est donc défini à une constante additive près ; on peut donc oublier la constante
additive –
1
4
dans le résultat et il est tout aussi correct d’écrire :
1
sin(t) + tan(t)
dt =
1
2
ln|tan(t/2)| −
1
4
tan
2
(t/2).
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Partie 2 • Analyse
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