soit, pour u = −1 : c =
1
2
.
Ainsi :
u
(u − 1)(1 + u) 2 =
1/4
u − 1
+
b
1 + u
+
1/2
(1 + u) 2 .
Si on multiplie par 1 + u pour ensuite prendre u = −1, nous tomberons sur une
forme indéterminée à cause des termes en (1 + u) 2 .
La solution est de regrouper tous ces termes ensemble : tout se simplifiera alors.
Éliminons le terme de degré 2 en le changeant de membre :
1/4
u − 1
+
b
1 + u
=
u
(u − 1)(1 + u) 2 −
1/2
(1 + u) 2
=
u
(u − 1)(1 + u) 2 −
1/2 (u − 1)
(u − 1)(1 + u) 2
=
1/2 (u + 1)
(u − 1)(1 + u) 2
=
1/2
(u − 1)(1 + u)
D’où, en multipliant par 1 + u :
1/4 (1 + u)
u − 1
+ b =
1/2
(u − 1)
et enfin, pour u = −1 : b = −
1
4
.
• On a donc :
u
(u 2 − 1)(1 + u)
=
u
(u − 1)(1 + u) 2 =
1/4
u − 1
−
1/4
1 + u
+
1/2
(1 + u) 2 .
Primitives des éléments simples
Chaque terme possède une primitive usuelle bien connue.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 8 • Intégration
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