Posons u = cos(t). On a alors du = −sin(t)dt.
De plus :
1
sin(t) + tan(t)
dt =
cos(t)sin(t)
(1 − cos 2 (t))(1 + cos(t))
dt
soit, avec le changement de variable suggéré :
1
sin(t) + tan(t)
dt =−
u
(1 − u 2 )(1 + u)
du =
u
(u 2 − 1)(1 + u)
du.
Décomposition en éléments simples
Il faut désormais décomposer en éléments simples cette fraction rationnelle en u
afin d’en déterminer aisément une primitive.
En factorisant le dénominateur il vient :
u
(u 2 − 1)(1 + u)
=
u
(u − 1)(1 + u) 2
et il existe donc trois réels a, b et c tels que
u
(u 2 − 1)(1 + u)
=
a
u − 1
+
b
1 + u
+
c
(1 + u) 2 .
On constate que 1 est un pôle simple alors que −1 est un pôle double.
Pour calculer a, la méthode est simple : multiplier par u − 1 , simplifier, puis faire
u = 1.
Pour b et c, c’est plus difficile car tout ne se simplifiera pas aussi bien ; on
commencera par calculer le coefficient du terme ayant la plus grande puissance, i.e.
c, en multipliant par (1 + u) 2 , puis en prenant, après simplification, u = −1.
• En multipliant par u − 1 on obtient :
u
(1 + u) 2 = a +
b(u − 1)
1 + u
+
c(u − 1)
(1 + u) 2
soit, pour u = 1 : a =
1
4
.
• En multipliant par (1 + u) 2 il vient :
u
u − 1
=
a(1 + u) 2
u − 1
+ b(1 + u) + c
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Partie 2 • Analyse
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