Changement de variable
Nous cherchons une primitive d’une fraction rationnelle en les fonctions circulaires : nous pouvons donc appliquer les règles de Bioche.
En changeant t en −t il vient :
1
sin(−t) + tan(−t)
d(−t) =
1
sin(t) + tan(t)
dt.
donc le changement de variable u = cos(t) permettra de se ramener à une fraction
rationnelle en u.
L’élément différentiel sera alors du = −sin(t)dt.
Il faut donc à la fois faire apparaître sin(t) au numérateur mais aussi éliminer les
fonctions sinus et tangente pour ne plus avoir, hormis ce nouvel élément différentiel, que des termes en cos(t).
1
sin(t) + tan(t)
=
sin(t)
sin
2
(t) + sin(t)tan(t)
et
sin(t)tan(t) =
sin
2
(t)
cos(t)
.
Le dénominateur est donc :
sin
2
(t) + sin(t)tan(t) = sin
2
(t)
1 +
1
cos(t)
= (1 − cos
2
(t))
1 +
1
cos(t)
et la fraction peut donc s’écrire :
1
sin(t) + tan(t)
=
cos(t)sin(t)
(1 − cos 2 (t))(1 + cos(t))
ce qui donne, avec u = cos(t) et du = −sin(t)dt :
1
sin(t) + tan(t)
dt = −
u
(1 − u 2 )(1 + u)
du =
u
(u 2 − 1)(1 + u)
du.
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Chapitre 8 • Intégration
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