I 2n+2 =
2n + 1
2n + 2
I 2n
=
2n + 1
2n + 2
(2n)!
(2 n n!) 2
π
2
=
(2n + 1)(2n + 2)
2 2 (n + 1) 2
(2n)!
(2 n n!) 2
π
2
=
(2n + 2)!
(2 n+1 (n + 1)!) 2
π
2
donc H n+1 est vraie.
• Ainsi, d’après le principe de récurrence, H n est vraie pour tout n ∈ N.
Nous avions démontré, dans l’exercice 1.7, qu’il existe un réel strictement positif
λ tel que
n! ∼ λ n
n e
−n √
n.
On a donc :
(2n)! ∼ λ (2 n)
2 n e
−2n
√
2 n
mais aussi
2
n n! ∼ λ (2 n)
n e
−n √
n
et
(2
n n!)
2
∼ λ
2
(2 n)
2 n e
−2 n n
soit, d’après la formule ci-dessus, une fois toutes les simplifications faites :
I 2n ∼
π
λ
√
2 n
.
Or on a montré que I n ∼
π
2 n
, d’où I 2n ∼
π
4 n
.
De ces deux équivalents on tire λ =
√
2π, i.e. :
n! ∼ n
n e
−n
√
2πn.
Il s’agit de la formule de Stirling, au programme de deuxième année.
Exercice 8.2 : Changements de variable usuels : règles de Bioche
Calculer l’intégrale suivante :
1
sin(t) + tan(t)
dt.
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Partie 2 • Analyse
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