Une autre solution est de transformer l’expression : au lieu d’avoir u n implicitement, nous allons chercher à écrire u n = g(v n ) avec (v n ) n∈N ∗ une suite « simple ».
Démonstration alternative :
D’après l’étude précédente, f réalise une bijection de R dans R ∗
+ .
En notant g la bijection réciproque de f, on a donc : u n = g
1 +
1
n
.
Or g est continue, car réciproque d’une bijection continue entre deux intervalles ; on a donc
lim
n→∞
g
1 +
1
n
= g(1).
Or f (0) = 1, d’où g(1) = 0 et enfin : lim
n→∞
u n = g(1) = 0.
Cette deuxième méthode n’est pas anecdotique : elle utilise le théorème de la bijection (continuité de la réciproque) et présente donc un intérêt. À vous de choisir
laquelle vous plaît le plus, mais les deux constituent des compétences exigibles.
Notez qu’à aucun moment nous n’avons explicité g ; nous n’en connaissons
d’ailleurs aucune expression en terme de fonctions usuelles mais ceci n’a pas d’importance dans cette question, seule sa continuité intervient.
5. Avec les notations de l’exercice :
1 +
1
n
= f (u n ) =
u n
e u n − 1
Or on sait que e x − 1 ∼ x quand x tend vers 0 ; comme lim
n→∞
u n = 0 on a donc
e u n − 1 ∼ u n soit, en remplaçant dans l’expression ci-dessus : 1 ∼ 1 +
1
n
… ce qui
n’est pas très intéressant.
Lorsque les équivalents de fonctions ne suffisent pas, il faut passer à la vitesse supérieure : les développements limités.
Dans le raisonnement précédent, on a en fait utilisé (et même redémontré) que
f (0) = 1 et que f est continue en 0, i.e. f (x) = 0 + o(x). Autrement dit, nous avons
utilisé le développement limité à l’ordre 0 de f en 0.
Nous allons donc reprendre tout ceci mais cette fois à l’ordre 1.
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Partie 2 • Analyse
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