En particulier, étant donné n ∈ N ∗ , il existe un unique réel u n tel que
f (u n ) = 1 +
1
n
.
4. L’approche de cette question est malaisée car la suite est définie implicitement.
Cependant, au vu de la représentation graphique de f, on voit que cette suite est
croissante et négative, ce qui permet déjà de montrer sa convergence.
Autrement dit, nous allons utiliser la monotonie de f pour étudier celle de la suite
(u n ) n∈N ∗ .
On a, pour tout n ∈ N ∗ :
1 +
1
n + 1
< 1 +
1
n
soit, par définition de u n et u n+1 :
f (u n+1 ) < f (u n ).
f étant strictement décroissante :
u n+1 > u n .
La suite (u n ) n∈N ∗ est donc strictement croissante.
De plus, pour tout n ∈ N ∗ , f (u n ) > 1 = f (0) donc, f étant strictement
décroissante, u n < 0.
(u n ) n∈N ∗ étant croissante et majorée elle est convergente. Soit sa limite.
De f (u n ) = 1 +
1
n
on tire en faisant tendre n vers +∞, f étant continue :
f (() = 1.
Or f (0) = 1 et f est une bijection de R dans R ∗
+ donc = 0, soit encore
lim
n→∞
u n = 0.
Les arguments que nous venons d’utiliser sont donc :
• le théorème de la limite monotone appliqué à la suite (u n ) n∈N ∗ pour démontrer
l’existence de la limite ;
• l’utilisation de la continuité de f (plus précisément, de la caractérisation séquentielle de la continuité) pour calculer cette limite.
Ainsi, pour calculer une limite, il peut être nécessaire de démontrer de manière abstraite l’existence de cette limite pour ensuite l’injecter dans des formules précédemment établies et en déduire sa valeur.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
185
Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
9782100547678-Fresl-C7.qxd 5/07/10 9:22 Page 185