Nous pouvons représenter graphiquement f et sa tangente en 0 :
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Partie 2 • Analyse
y = f (x)
0
0
– 1
1
1
2
3
2
– 2
y = 1– x
1
2
On peut montrer que f est dérivable en 0 et que f
(0) = −
1
2
en effectuant le développement limité à l’ordre 1 de f en 0 : on trouve alors f (x) = 1 −
1
2
x + o(x) .
La question est cependant plus contraignante : on demande de montrer que f est
dérivable en 0 et que la fonction dérivée f est continue sur R. Le calcul précédent est donc insuffisant.
Pour démontrer un tel résultat, le théorème de prolongement des fonctions de
classe C 1 est intéressant car il ne nécessite pas, dans ses hypothèses, que f soit
dérivable en 0 : ceci est une conséquence de ce théorème.
3. L’énoncé est typique d’une utilisation du théorème des valeurs intermédiaires ;
nous allons donc étudier la fonction f, ce qui a été presque entièrement fait plus
haut.
f est strictement négative sur R donc f est strictement décroissante.
De plus, d’après les limites usuelles du cours :
lim
x→−∞
f (x) = +∞ et
lim
x→+∞
f (x) = 0.
f réalise donc une bijection de R sur son image R ∗
+ .
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