f est bien définie et continue sur R ∗ comme quotient de deux fonctions
continues.
De plus, d’après les limites usuelles du cours :
lim
x→1
f (x) = 1.
f possède donc un prolongement par continuité à R en posant f (0) = 1.
2. Nous allons utiliser le théorème de prolongement des fonctions de classe C 1 .
Il est clair que f est de classe C 1 sur R ∗ et nous savons déjà que f possède une limite
finie en 0 ; il n’y a plus qu’à prouver la convergence de f en 0.
Notons tout d’abord que f est clairement de classe C 1 sur R ∗ .
De plus on a, pour x ∈ R ∗ , f
(x) =
(1 − x)e x − 1
(e x − 1) 2 .
Afin de déterminer la limite de f en 0, effectuons les développements limités à l’ordre 2 du numérateur et du dénominateur :
(1 − x)e x − 1 = (1 − x)(1 + x +
1
2
x
2
) − 1 + o(x
2
)
= −
1
2
x
2
+ o(x
2
)
(e x − 1) 2 = (x +
1
2
x
2
)
2
+ o(x
2
)
=
x 2 + o(x 2 ).
On a donc les équivalents en 0 :



(1 − x)e
x
− 1 ∼ −
1
2
x
2
(e
x
− 1)
2
∼
x 2
d’où, en effectuant le quotient : lim
x→0
f
(x) = −
1
2
.
Ainsi, f est continue sur R, de classe C 1 sur R ∗ et sa dérivée converge en 0.
D’après le théorème de prolongement des fonctions de classe C 1 la fonction
f est donc de classe C 1 sur R et, de plus, f
(0) = −
1
2
.
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Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
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