Exercice 7.15 : Synthèse : prolongement de fonction
et étude de suite implicite
Pour x ∈ R ∗ on pose f (x) =
x
e x − 1
.
1. Montrer que f possède un prolongement par continuité à R.
2. Montrer que ce prolongement est de classe C 1 sur R.
3. Montrer que, pour tout n ∈ N ∗ , il existe un unique réel u n tel que
f (u n ) = 1 +
1
n
.
4. Déterminer lim
n→∞
u n .
5. Déterminer un équivalent simple de u n .
Les premières questions sont relativement simples car d’une forme classique : les
deux premières se traitent par des arguments de limites et de développements limités pour lever les indéterminations ; la troisième est typique d’une application du
théorème des valeurs intermédiaires.
En revanche, les deux dernières questions sont plus difficiles ; en effet, la suite en
question est définie implicitement, il n’y a donc pas de méthode systématique pour
l’étudier et aucune formule simple ne nous permet de voir à l’avance quel théorème
invoquer.
1. Nous pouvons bien sûr trouver cette limite avec un développement limité de l’exponentielle mais nous sommes ici dans une situation plus simple déjà vue en terminale : il s’agit de l’inverse du taux d’accroissement de l’exponentielle en 0.
182
Partie 2 • Analyse
y = e –1/ x
2
0
0
– 1
1
1
2
3
4
– 2
– 3
– 4
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et étude de suite implicite
Pour x ∈ R ∗ on pose f (x) =
x
e x − 1
.
1. Montrer que f possède un prolongement par continuité à R.
2. Montrer que ce prolongement est de classe C 1 sur R.
3. Montrer que, pour tout n ∈ N ∗ , il existe un unique réel u n tel que
f (u n ) = 1 +
1
n
.
4. Déterminer lim
n→∞
u n .
5. Déterminer un équivalent simple de u n .
Les premières questions sont relativement simples car d’une forme classique : les
deux premières se traitent par des arguments de limites et de développements limités pour lever les indéterminations ; la troisième est typique d’une application du
théorème des valeurs intermédiaires.
En revanche, les deux dernières questions sont plus difficiles ; en effet, la suite en
question est définie implicitement, il n’y a donc pas de méthode systématique pour
l’étudier et aucune formule simple ne nous permet de voir à l’avance quel théorème
invoquer.
1. Nous pouvons bien sûr trouver cette limite avec un développement limité de l’exponentielle mais nous sommes ici dans une situation plus simple déjà vue en terminale : il s’agit de l’inverse du taux d’accroissement de l’exponentielle en 0.
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Partie 2 • Analyse
y = e –1/ x
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