Posons P n+1 (X) = −X 2 P
n (X) + 2X 3 P n (X). Alors P n+1 est un polynôme
et on a bien, pour tout x ∈ R ∗ , f (n+1) (x) = P n+1 (1/x)exp(−1/x 2 ). Ainsi,
H n+1 est vraie.
• D’après le principe de récurrence, H n est vraie pour tout n ∈ N.
2.b. Rappelons le théorème de prolongement des fonctions C ∞ :
si une fonction f de classe C ∞ sur R ∗ possède une limite finie 0 en 0, et que pour
tout n ∈ N ∗ sa dérivée n-ième possède une limite finie n en 0, alors :
• en posant f (0) = 0 on obtient une fonction de classe C ∞ sur R ;
• de plus, pour tout n ∈ N ∗ , f (n) (0) = n .
Pour calculer ces limites dans le cas traité ici on peut se ramener très simplement à
des limites usuelles bien connues.
Fixons n ∈ N. Alors, d’après les théorèmes de croissances comparées,
lim
x→0
f
(n)
(x) = 0.
Ainsi, en posant f (0) = 0, f est prolongée en une fonction de classe C ∞
sur R vérifiant, de plus, f (n) (0) = 0 pour tout n ∈ N.
La formule de Taylor montre que f possède un développement limité à tout ordre
en 0 et que f (x) = o(x n ) en 0. Pourtant, f n’est pas la fonction nulle : elle ne s’annule même qu’en 0.
Cet exemple montre que la connaissance des développements limités à tout ordre
en 0 d’une fonction ne permet pas de déterminer cette fonction : deux fonctions
distinctes peuvent avoir les mêmes développements limités.
On peut représenter graphiquement cette fonction : d’après les propriétés usuelles
elle est positive, paire, tend vers 1 par valeurs inférieures en ±∞.
Nous venons de voir qu’en 0 elle tend vers 0 plus vite que toute puissance, autrement dit de manière très rapide : la courbe semble « plate » et pourtant f ne s’annule
qu’en 0, contrairement aux apparences.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
181
Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
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n (X) + 2X 3 P n (X). Alors P n+1 est un polynôme
et on a bien, pour tout x ∈ R ∗ , f (n+1) (x) = P n+1 (1/x)exp(−1/x 2 ). Ainsi,
H n+1 est vraie.
• D’après le principe de récurrence, H n est vraie pour tout n ∈ N.
2.b. Rappelons le théorème de prolongement des fonctions C ∞ :
si une fonction f de classe C ∞ sur R ∗ possède une limite finie 0 en 0, et que pour
tout n ∈ N ∗ sa dérivée n-ième possède une limite finie n en 0, alors :
• en posant f (0) = 0 on obtient une fonction de classe C ∞ sur R ;
• de plus, pour tout n ∈ N ∗ , f (n) (0) = n .
Pour calculer ces limites dans le cas traité ici on peut se ramener très simplement à
des limites usuelles bien connues.
Fixons n ∈ N. Alors, d’après les théorèmes de croissances comparées,
lim
x→0
f
(n)
(x) = 0.
Ainsi, en posant f (0) = 0, f est prolongée en une fonction de classe C ∞
sur R vérifiant, de plus, f (n) (0) = 0 pour tout n ∈ N.
La formule de Taylor montre que f possède un développement limité à tout ordre
en 0 et que f (x) = o(x n ) en 0. Pourtant, f n’est pas la fonction nulle : elle ne s’annule même qu’en 0.
Cet exemple montre que la connaissance des développements limités à tout ordre
en 0 d’une fonction ne permet pas de déterminer cette fonction : deux fonctions
distinctes peuvent avoir les mêmes développements limités.
On peut représenter graphiquement cette fonction : d’après les propriétés usuelles
elle est positive, paire, tend vers 1 par valeurs inférieures en ±∞.
Nous venons de voir qu’en 0 elle tend vers 0 plus vite que toute puissance, autrement dit de manière très rapide : la courbe semble « plate » et pourtant f ne s’annule
qu’en 0, contrairement aux apparences.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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