Partant de f (n) (x) = P n (1/x)exp(−1/x 2 ) on obtient, en dérivant :
f (n+1) (x) =
d
dx
(P n (1/x)) exp(−1/x
2
) + P n (1/x)
d
dx
exp(−1/x
2
)
= −
1
x 2 P
n (1/x)exp(−1/x
2
) + P n (1/x) ×
2
x 3
exp(−1/x
2
)
=
−
1
x 2 P
n (1/x) +
2
x 3 P n (1/x)
exp(−1/x
2
)
Remarquons que l’expression à dériver est un produit de deux fonctions composées
et qu’il faut donc prendre soin de détailler soigneusement les étapes au brouillon
pour ne pas se tromper…
Il faut reconnaître ici une expression de la forme P n+1 (1/x)exp(−1/x 2 ), soit
P n+1 (1/x) = −
1
x 2 P
n (1/x) +
2
x 3 P n (1/x).
Or
−
1
x 2 P
n (1/x) +
2
x 3 P n (1/x) = −(1/x)
2 P
n (1/x) + 2(1/x)
3 P n (1/x)
soit, en posant y = 1/x,
P n+1 (y) = −y
2 P
n (y) + 2y
3 P n (y).
Nous avons donc ainsi trouvé l’expression que doit avoir P n+1 en fonction de P n .
Pour rédiger de manière plus lisible on pourra poser l’expression de P n+1 puis vérifier qu’elle convient.
Pour n ∈ N posons H n : « il existe un polynôme P n tel que, pour tout
x ∈ R ∗ , f (n) (x) = P n (1/x)exp(−1/x 2 ) ».
• H 0 est vraie : en effet, le polynôme P 0 = 1 convient.
• Soit n ∈ N tel que H n est vraie. On a donc un polynôme P n tel que, pour
tout x ∈ R ∗ , f (n) (x) = P n (1/x)exp(−1/x 2 ) .
En dérivant cette relation par rapport à x on obtient :
∀x ∈ R
∗
, f
(n+1)
(x) =
−
1
x 2 P
n (1/x) +
2
x 3 P n (1/x)
exp(−1/x
2
).
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Partie 2 • Analyse
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