Ainsi :
f
(x) ∼
1
6
x 4
x 4 =
1
6
i.e. lim
x→0
f (x) =
1
6
.
Conclusion
D’après le théorème de prolongement des fonctions de classe C 1 , on prolonge
f en une fonction de classe C 1 sur ] − π/2,π/2[ en posant f (0) = 0 et on
a alors f
(0) =
1
6
.
Représentons graphiquement f et sa tangente en 0 :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
179
Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
y = f (x)
y = x
0
0
0,5
– 0,5
– 1
1
2
– 2
1
6
2.a. Il est naturel de tenter une démonstration par récurrence.
Pour cela, voyons d’abord comment passer d’une formule du type
f
(n)
(x) = P n (1/x)exp(−1/x
2
)
à
f
(n+1)
(x) = P n+1 (1/x)exp(−1/x
2
).
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f
(x) ∼
1
6
x 4
x 4 =
1
6
i.e. lim
x→0
f (x) =
1
6
.
Conclusion
D’après le théorème de prolongement des fonctions de classe C 1 , on prolonge
f en une fonction de classe C 1 sur ] − π/2,π/2[ en posant f (0) = 0 et on
a alors f
(0) =
1
6
.
Représentons graphiquement f et sa tangente en 0 :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
y = f (x)
y = x
0
0
0,5
– 0,5
– 1
1
2
– 2
1
6
2.a. Il est naturel de tenter une démonstration par récurrence.
Pour cela, voyons d’abord comment passer d’une formule du type
f
(n)
(x) = P n (1/x)exp(−1/x
2
)
à
f
(n+1)
(x) = P n+1 (1/x)exp(−1/x
2
).
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