et, en particulier :
lim
x→0
f (x) = 0.
Convergence de f en 0
Le problème est exactement le même : il faut lever une forme indéterminée à l’aide
de développements limités.
On a
f (x) = −
cos(x)
sin
2
(x)
+
1
x 2
=
sin
2
(x) − x 2 cos(x)
x 2 sin
2
(x)
.
L’équivalent usuel sin(x) ∼ x donne un équivalent du dénominateur :
x
2 sin
2
(x) ∼ x
4
.
Pour le numérateur, effectuons un développement limité à l’ordre 4 en 0. On
sait que
sin(x) = x −
1
6
x
3
+ o(x
4
)
cos(x) = 1 −
1
2
x
2
+
1
24
x
4
+ o(x
4
)
d’où, d’une part :
sin
2
(x) = x
2
−
1
3
x
4
+ o(x
4
)
et, d’autre part :
x
2 cos(x) = x
2
−
1
2
x
4
+ o(x
4
)
soit enfin, en soustrayant :
sin
2
(x) − x
2 cos(x) =
1
6
x
4
+ o(x
4
)
ce que l’on peut également écrire avec un équivalent :
sin
2
(x) − x
2 cos(x) ∼
1
6
x
4
.
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Partie 2 • Analyse
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