1. Il y a deux manières de montrer qu’une fonction se prolonge en 0 en une fonction de classe C 1 :
• on peut montrer que f se prolonge en 0 (i.e. possède une limite finie en 0), puis
que la fonction ainsi prolongée est dérivable en 0 et enfin que f (x) tend bien vers
f (0) quand x tend vers 0 (autrement dit, vérification de la définition d’une fonction de classe C 1 ) ;
• ou, plus simplement, montrer que f et f possèdent des limites finies en 0 (autrement dit, application du théorème de prolongement des fonctions C 1 ).
Ceci est surprenant : la deuxième méthode semble bien plus faible que la première!
Cependant, on démontre dans le cours que le deuxième point entraîne bien que f se
prolonge en une fonction de classe C 1 . Tout l’intérêt de cette démarche est qu’il y a
bien moins de calculs à faire que dans la première.
Convergence de f en 0
Nous utiliserons bien entendu les développements limités usuels pour lever l’indétermination ; de plus, comme nous avons affaire à un quotient, nous pourrons rédiger de manière plus souple en étudiant séparément le numérateur et le dénominateur et en déterminant pour chacun d’eux un équivalent.
En mettant les fractions au même dénominateur :
f (x) =
1
sin(x)
−
1
x
=
x − sin(x)
x sin(x)
.
En effectuant un développement limité du numérateur à l’ordre 3 en 0 à
l’aide de la formule connue
sin(x) = x −
1
6
x
3
+ o(x
3
)
on obtient :
x − sin(x) =
1
6
x
3
+ o(x
3
)
∼
1
6
x
3
D’autre part, sin(x) ∼ x donc le dénominateur est équivalent à x 2 ; on en
déduit :
f (x) ∼
x
6
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
177
Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
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• on peut montrer que f se prolonge en 0 (i.e. possède une limite finie en 0), puis
que la fonction ainsi prolongée est dérivable en 0 et enfin que f (x) tend bien vers
f (0) quand x tend vers 0 (autrement dit, vérification de la définition d’une fonction de classe C 1 ) ;
• ou, plus simplement, montrer que f et f possèdent des limites finies en 0 (autrement dit, application du théorème de prolongement des fonctions C 1 ).
Ceci est surprenant : la deuxième méthode semble bien plus faible que la première!
Cependant, on démontre dans le cours que le deuxième point entraîne bien que f se
prolonge en une fonction de classe C 1 . Tout l’intérêt de cette démarche est qu’il y a
bien moins de calculs à faire que dans la première.
Convergence de f en 0
Nous utiliserons bien entendu les développements limités usuels pour lever l’indétermination ; de plus, comme nous avons affaire à un quotient, nous pourrons rédiger de manière plus souple en étudiant séparément le numérateur et le dénominateur et en déterminant pour chacun d’eux un équivalent.
En mettant les fractions au même dénominateur :
f (x) =
1
sin(x)
−
1
x
=
x − sin(x)
x sin(x)
.
En effectuant un développement limité du numérateur à l’ordre 3 en 0 à
l’aide de la formule connue
sin(x) = x −
1
6
x
3
+ o(x
3
)
on obtient :
x − sin(x) =
1
6
x
3
+ o(x
3
)
∼
1
6
x
3
D’autre part, sin(x) ∼ x donc le dénominateur est équivalent à x 2 ; on en
déduit :
f (x) ∼
x
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