2. f est deux fois dérivable donc ln ◦ f aussi. Il suffit donc de montrer que (ln ◦ f )
est positive. Le calcul de cette dérivée seconde fait précisément intervenir l’expression précédente.
On a successivement, pour tout réel x :
(ln ◦ f )
(x) =
f (x)
f (x)
(ln ◦ f )
(x) =
f (x) f (x) − f (x) 2
f (x) 2
0.
Ainsi, ln ◦ f est convexe.
3. Ici aussi nous pouvons simplement étudier le signe de f en l’exprimant à l’aide
de ln ◦ f.
Avec g = ln ◦ f on a successivement, pour tout réel x :
f (x) = exp(g(x))
f
(x) = g
(x)exp(g(x))
f
(x) = (g
(x) + g
(x)
2
)exp(g(x)) 0
car g 0 d’après ce qui précède.
f est donc convexe.
Exercice 7.14 : Prolongements
Les questions 1 et 2 sont indépendantes et proposent chacune une illustration des
théorèmes de prolongement de fonctions.
1. Pour x ∈] − π/2,0[∪]0,π/2[ on pose
f (x) =
1
sin(x)
−
1
x
.
Montrer que f peut se prolonger en une fonction de classe C 1 sur ] − π/2,π/2[.
2. Pour x ∈ R ∗ on pose f (x) = exp(−1/x 2 ).
2.a. Montrer que, pour tout n ∈ N, il existe un polynôme P n tel que, pour tout
x ∈ R ∗ :
f
(n)
(x) = P n (1/x)exp(−1/x
2
).
2.b. En déduire que f se prolonge en une fonction de classe C ∞ sur R et donner
les valeurs de f (n) (0) pour n ∈ N.
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Partie 2 • Analyse
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